آموزش روش LINMAP

آموزش روش (Linear Programming for Multidimensional Analysis of Preference) (LINMAP)

در این روش m‌ گزینه و n‌ شاخص از یک مساله مفروض بصورت m نقطه در یک فضای n بعدی مورد توجه قرار می گیرد و سپس نقطه ایده آل تشخیص داده می شود و گزینه ای که دارای کمترین فاصله از ایده آل باشد مورد انتخاب قرار می گیرد.

فرض بر این است که تصمیم گیرنده از دو گزینه مفروض نیز نزدیکترین به ایده آل را انتخاب خواهد کرد و فاصله از ایده آل به صورت فاصله اقلیدسی وزین(di) بر گزینه Ai مورد توجه قرار می گیرد. همچنین وزن های Wj نیز به منظور تبدیل مقیاس های موجود به مقیاس های یکسان مورد استفاده قرار می گیرد که البته درجه اهمیت شاخص ها را نیز نشان می دهند.

فاصله گزینه Ai از ایده آل به صورت زیر بدست می آید:

یا

Xj نشان دهنده ایده آل از شاخص j ام است.

با توجه به مفروضات فوق و تعریف موجود از فاصله، واقعیت های زیر اساس این روش را تشکیل می دهند:

الف) فرض کنید مجموعه  Ω={(k,L)}K   نشان دهنده زوج های Ak و AL بوده بطوری که گزینه Ak  بر AL ارجح است.

m تعداد گزینه و n تعداد شاخص ها می باشد.

Ai در حقیقت نشان دهنده i امین گزینه می باشد

Wj وزن شاخص j ام می باشد.

di فاصله گزینه i ام از مقدار مطلوب می باشد.

Xj نشان دهنده مقدار مطلوب یا ایده آل شاخص j ام است.

Xij مقدار معلوم جدول تصمیم گیری است.

تعداد مقایسه زوجی یا زوج مرتب ها از رابطه زیر بدست می آید(در حقیقت تعداد عنصر یا زوج مرتب مجموعه Ω می باشد)

روش LINMAP مشمول شرط زیر می باشد:

برای هر زوج مرتب شده  {(k,L)}  عضو Ω وقتی K به L ارجح باشد باید داشته باشیم:

بنابراین می توان نوشت:

یا اگر داشته باشیم  Sk>SL بدین مفهوم است که مقدار  Sk-SL بیانگر مقدار اشتباهی است که شرط مذکور در بند بالا را نقض کرده است.

بدین صورت -(SL-Sk)  نشان دهنده مقدار اشتباه برای زوج Ω ϵ{(K , L)} می باشد و بطور کلی مجموع اشتباه بر روی مجموعه Ω عبارت است از:

B غیر منفی است زیرا مقدار -(Sk-SL) غیر منفی است. بدین منظور باید مقدار B حداقل شود تا راه حل مشخص گردد.

در مقابل B ارزش جدید به نام G (Goodness of fit) یعنی نیکویی برازش به صورت زیر تعریف می شود:

بطوریکه خواهیم داشت:

بنابراین باید داشته باشیم:

که h یک مقدار ثابت و دلخواه است که معمولا ۱ قرار داده می شود.

پس راه حل مقادیر W و  Xj از حل مساله زیر حاصل می شود:

از آنجایی که هدف ما حداقل کردن مقدار عبارت B‌ است پس خواهیم داشت:

که با قرار دادن عبارت ZKL به جای B خواهیم داشت:

بنابراین برنامه ریز خطی ما می شود:

از‌آنجایی که Xj یک ثابت نامعلوم است پس می توانیم قرار دهیم:

و با توجه به اینکه داشتیم:

بنابراین خواهیم داشت:

از حل برنامه ریزی خطی فوق می توان حالات زیر را استنتاج کرد:

نکته: روش LINMAP تابع مطلوبیت را برای مواقعی که مقدار ایده آل در مثبت و منفی بینهایت(±∞) واقع شود به صورت افزایشی یا کاهشی یکنواخت مد نظر قرار می دهد.

مثال) فرض کنید تصمیم گیرنده جدول تصمیم زیر را در مودر ۵ گزینه و دو شاخص ارائه کرده است.

با توجه به جدول مجموعه زوج های مرتب(Ω) به صورت زیر می باشد:

برای مثال زوج نمونه (۱,۲) به مفهوم این است که گزینه A1 بر گزینه A2 ارجح است (AK=A1  ,  AL=A2).

با توجه به توضیحات و روابط بیان شده می توان مدل ریاضی مثال ارائه شده را به صورت زیر نوشت:

با حل مدل خواهیم داشت:

با توجه به مقادیر S* می توانیم گزینه ها به صورت زیر رتبه بندی کنیم.

گزینه A2 و A4 هر دو رتبه اول را به خود اختصاص داده اند.

گزینه A1 و A3 و A5 نیز رتبه دوم را به خود اختصاص داده اند.